定义
1.如果 a^x=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作 x=log(a) N .其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。且a>o，a≠1，N>0
2.将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm)，并把log(10) N 记为 lg N.
3.以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数(natural logarithm)，并把log(e) N 记为 ln N.
零没有对数.
在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数有对数。
如:
㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.
而事实上，当θ=(2k+1)π时(k∈Z)，e^[(2k+1)πi]+1=0，这样，㏑(-1)的具有周期性的多个值，㏑(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如:㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5。
loga1=0，logaa=1
对数基本性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么:
1、a^log(a) N=N (对数恒等式)
证:设log(a) N=t，(t∈R)
则有a^t=N
a^(log(a)N)=a^t=N.
即证.
2、log(a) a=1
证:因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
令b=1，则1=log(a)a
3、log(a) (M·N)=log(a) M+log(a) N
4、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
5、log(a) M^n=nlog(a) M
6、log(a)b*log(b)a=1
7、log(a) b=log (c) b÷log (c) a (换底公式)
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导:
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质5
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式可得
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
对数函数
函数 y=log(a) x (a>0，且a≠1)叫做对数函数(logarithmic function). 其中x是自变量
对数函数基本性质
1、过定点(1,0)，即x=1时，y=0.
2、当 0<a<1 时，在(0，+∞)上是减函数;当a>1时，在(0，+∞)上是增函数.
3、对数函数是非奇非偶函数（无论增函数还是减函数都一样），它的反函数指数函数同样也是非奇非偶函数
对数概念发明人
苏格兰数学家纳皮尔
对数发明简史
16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550-1617)正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过:"给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。"
对数发明之前，人们对三角运算中将三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉，而且德国数学家斯蒂弗尔(M.Stifel，约1487-1567)在《综合算术》(1544)中阐述的
1，r^2，r^3，r^4，… (1)
与 0，1，2，3，…
之间的对应关系(r^n→n)及运算性质(即上面一行数字的乘、除、乘方、开方对应于下面一行数字的加、减、乘、除)也已广为人知。经过对运算体系的多年研究，纳皮尔在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。
将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯(H.Briggs，1561-1631)，他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数。由于我们的数系是十进制，因此它在数值上计算具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表都不再重要了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命力。
从对数的发明过程我们可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年才由法国数学家笛卡儿(R.Descartes，1596-1650)开始使用。直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用y=a^x（a>0，且a≠1）来定义x=log (a) y （a>0，且a≠1），他指出:"对数源于指数"。对数的发明先于指数，成为数学史上的珍闻。
由于指数函数y=a^x（a>0，且a≠1）与对数函数x=log (a) y （a>0，且a≠1）互为反函数，对于底数a小于0（a<0）目前为止数学家规定无意义。数学家的定义是：①负数和0没有对数！②负数和0不能作为指数、对数运算的底数
从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。建立对数与指数之间的联系的过程表明，使用较好的符号体系对于数学的发展是至关重要的。实际上，好的数学符号能够大大地节省人的思维负担。数学家们对数学符号体系的发展与完善作出了长期而艰苦的努力。
对数发展简史
到了20世纪（1900年）以后，随着各种自然科学的发展数学家逐渐将两种最常用的对数单独加以定义：一个是常用对数（以10为底，符号是lg）、另外一个是自然对数（以自然对数e为底，符号是ln）。一般来说，在科学上自然对数（以自然对数e为底，符号是ln）的使用最为广泛，在实际生活中常用对数（以10为底，符号是lg）应用最为广泛。
到了20世纪70年代，人类发明了电子计算器。随着电子计算器的出现，对数计算常用的对数表、对数计算尺初步退出了历史舞台，即将被时代淘汰。最初的电子计算器只能进行以自然对数e为底数（以自然对数e为底，符号是ln）的对数运算，由于社会发现的需要后来又出现了科学型电子计算器，可以计算以10为底数、以自然对数e为底数的对数运算。需要特别注意的是，这个时候使用科学型计算器作对数运算的人员绝大部分都是专业科技人员，在民间对数表、对数计算尺还在广泛使用——主要是高中和大学。
到了20世纪90年代，随着家用电脑的普及，对数计算常用的对数表、对数计算尺全部退出了历史舞台，正式被时代淘汰。
时间进入21世纪以后，由于电子计算机行业、信息技术行业（IT行业）迅速发展又单独出现了一个常用的对数——以2为底的对数。与前面的常用对数（以10为底，符号是lg）以及自然对数（以自然对数e为底，符号是ln）不同，以2为底数的只在电子计算机行业、信息技术行业（IT行业）广泛应用（由于计算机为2进制的缘故），也在生物学、遗传学部分有广泛应用（研究亲代与子代遗传部分需要使用）。由于只是部分行业广泛应用，直到今天数学家没有对以2为底的对数做出特别规定。有部分计算机行业的人员将以2为底的对数称为IT行业常用对数。
表示方法为 y=log（2）X
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